参考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C pk(1-p)n-k
球的表面积公式S=4 R2,其中R表示球的半径
球的体积公式V=  R3,其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有
A.a+b∈A
B.a+b∈B
C.a+b∈C
D.a+b不属于A,B,C中的任意一个
2.已知f(x)=sin(x+ ,g(x)=cos(x- ),则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移 个单位,得到g(x)的图象
D.向右平移 个单位,得到g(x)的图象
3.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是
A.y= x        B.y=- x
C.y= x        D.y=- x
4.函数y=1- , 则下列说法正确的是
A.y在(-1,+∞)内单调递增     B.y在(-1,+∞)内单调递减
C.y在(1,+∞)内单调递增     D.y在(1,+∞)内单调递减
5.已知直线m,n和平面 ,那么m∥n的一个必要但非充分条件是
A.m∥ ,n∥        B.m⊥ ,n⊥
C.m∥ 且n         D.m,n与 成等角
6.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,…,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个;则
A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是
B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是 ,③并非如此
C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是 ,②并非如此
D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
7.曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,当k=3时的P点坐标为
A.(-2,-8)        B.(-1,-1),(1,1)
C.(2,8)         D.(- ,- )
8.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是
A.(0,1)         B.(1,2)
C.(0,2)         D.[2,+∞
9.已知lg3,lg(sinx- ),lg(1-y)顺次成等差数列,则
A.y有最小值 ,无最大值    B.y有最大值1,无最小值
C.y有最小值 ,最大值1     D.y有最小值-1,最大值1
10.若 =a, =b,则∠AOB平分线上的向量 为
A.         B. ( ), 由 决定
C.         D.
11.一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2,则e1+e2的最小值为
A.          B.2
C.2          D.4
12.式子 的值为
A.0          B.1
C.2          D.3
第Ⅱ卷  (非选择题  共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中,限定a1的象不能是b1,且b4的原象不能是a4的映射有___________个.
14.椭圆5x2-ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=___________.
15.已知无穷等比数列首项为2,公比为负数,各项和为S,则S的取值范围为___________.
16.已知an是(1+x)n的展开式中x2的系数,则 =___________.
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)= ,记数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=f(1),当n≥2时,Sn- (n2+5n-2).
(1)计算a1,a2,a3,a4;
(2)求出数列{an}的通项公式,并给予证明.
18.(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A,B,C,满足sinC= .
(1)判断△ABC的形状;
(2)设三边a,b,c成等差数列且S△ABC=6 cm2,求△ABC三边的长.
19.(本小题满分12分)
如图,矩形ABCD与ADQP所在平面垂直,将矩形ADQP沿PD对折,使得翻折后点Q落在BC上,设AB=1,PA=h,AD=y.
 
(1)试求y关于h的函数解析式;
(2)当y取最小值时,指出点Q的位置,并求出此时AD与平面PDQ所成的角;
(3)在条件(2)下,求三棱锥P—ADQ内切球的半径.
20.(本小题满分12分)
某人上午7时,乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去,然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去,应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.
(1)作图表示满足上述条件x、y的范围;
(2)如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(元),那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
21.(本小题满分12分)
已知f(x)=loga(x+1),点P是函数y=f(x)图象上的任意一点,点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象,当a>1,x∈[0,1 时,总有2f(x)+g(x)≥m恒成立.
(1)求出g(x)的表达式;
(2)求m的取值范围.
22.(本小题满分14分)
直线l:ax-y-1=0与曲线C:x2-2y2=1交于P、Q两点,
(1)当实数a为何值时,|PQ|=2 ?
(2)是否存在a的值,使得以PQ为直径的圆经过原点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.


参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.解析:由已知得a是偶数,b是奇数,则a+b是奇数,又b∈B,B C,∴a+b∈B,选B.
答案:B
2.解析:f(x)的图象向右平移 个单位,得sin[(x- )+ ]=sinx,又g(x)=cos(x- =cos( -x)=sinx,故选D.
答案:D
3.解析:设直线为y=kx.
由 消去y,得
(1+k2)x2+4x+3=0,
由Δ=16-4×3(1+k2)=0,k=± .
又知切点在第三象限,∴k= ,选C.
答案:C
 
4.解析:令x-1=X,y-1=Y,则Y=- .
X∈(0,+∞)是单调增函数,由X=x-1,得x∈(1,+∞),y=1- 为单调增函数,故选C.
答案:C
5.解析:若m∥n,则m,n与平面 成相等的角,反之 ,若m,n与平面 成等角,不一定有m∥n,故选D.
答案:D
6.解析:将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是 ,故选A.
答案:A
7.解析:由y=x3,得y′=3x2.由已知得3x2=3,x=±1.
当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-1,
故P点的坐标为(1,1)或(-1,-1),选B.
答案:B
8.解析:由已知loga(2-a·0)>loga(2-a),即loga2>loga(2-a),
当0<a<1时,有 无解,
当a>1时,有 ,得1<a<2,选B.
答案:B
9.解析:由已知得2lg(sinx- )=lg3+lg(1-y),且 ,
得(sinx- )2=3(1-y)
得y=1- ,
当sinx=1时,ymin= ,无最大值,选A.
答案:A
10.答案:B
11.解析:设双曲线 =1的离心率e1= ,
则共轭双曲线 =1的离心率e2= .
e1+e2=
≥2·   (a=b时取等号)
=2· ≥2·   (a=b时取等号).
∴e1+e2的最小值为2 ,选C.
答案:C
12.解析:原式=
= =2,选C.
答案:C
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.解析:A -2A +A =14.
答案:14
14.解析:由已知得x2+ =1,k<0,
由焦点坐标(0,2)知长轴在y轴上,
得(- )-1=4,得k=-1.
答案:-1
15.解析:由题意得S= ,-1<q<0.
由q= 得-1< <0,解不等式得1<S<2.
答案:1<S<2
16.解析:由已知得x2的系数为C ,即an=C = ,
∴a2=1, =1= , ,…, ,

= .
答案:2
三、解答题(17、18、19、20、21题,每题12分,22题14分,共74分)
17.解:(1)由已知,当n≥2时,f(an)= ,
∵Sn- ,
∴Sn- (n2+5n-2),
即Sn+an= (n2+5n+2).
又a1=f(1)=2,
由S2+a2=a1+2a2= (22+5×2+2),
得a2=3;
由S3+a3=a1+a2+2a3= (32+5×3+2),
解得a3=4;
由S4+a4=a1+a2+a3+2a4= (42+5×4+2),解得a4=5.        6分
(2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想:an=n+1(n∈N).       8分
以下用数学归纳法证明:
(a)当n=1时命题成立.
(b)设n=k时,ak=k+1(k∈N).
由Sk+1+ak+1= [(k+1)2+5(k+1)+2],
a1+a2+…+ak+2ak+1= (k2+7k+8),
2ak+1= (k2+7k+8)-(2+3+…+k+1)
= (k2+7k+8)-
= (k2+7k+8-k2-3k)
=2k+4.
ak+1=(k+1)+1,
即当n=k+1时命题也成立.
故由(a)、(b)知对一切n∈N均有an=n+1.            12分
18.(1)解法一:sinC=
=tan = .
∵sinC≠0,∴cosC=0,0°<C<180°,
∴C=90°,∴△ABC为直角三角形.           6分
解法二:∵cosA+cosB= ,
∴ .
化简整理得:(a+b)(c2-a2-b2)=0,∴a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形.             6分
(2)解:由已知得:a2+b2=c2,a+c=2b, ab=6,
解得:a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm.              12分
19.解:(1)显然h>1,连接AQ,
∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD,
∴PA⊥平面ABCD,由已知PQ⊥DQ,
∴AQ⊥DQ,AQ=y2-h2.
∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ= ,
∴ ,即 .
∴y= (h>1).              4分
(2)y= =
= + ≥2,             6分
当且仅当 ,即h= 时,等号成立.
此时CQ=1,即Q为BC的中点,于是由DQ⊥平面PAQ,知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线,则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角,由已知得AQ= ,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE= ,∠ADE=30°.       8分
(3)设三棱锥P-ADQ的内切球半径为r,
则 (S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP-ADQ .
∵VP-ADQ= S△ADQ·PA= ,S△PAQ=1,
S△PAD= ,S△QAD=1,S△PDQ= ,
∴r= .                  12分
20.解:(1)由题意得:v= ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100,      3分
 
∴3≤x≤10, ≤y≤ .①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间,即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).     6分
(2)因为p=100+3(5-x)+2(8-y),所以3x+2y=131-p,设131-p=k,那么当k最大时,p最小,在图中通过阴影部分区域且斜率为- 的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当y=4时,p最小,此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.       12分
21.解:(1)设Q(x,y) P(-x,-y),代入f(x)方程得,g(x)=-loga(-x+1).   4分
(2)2f(x)+g(x)≥m恒成立
 2loga(x+1)-loga(1-x)≥m恒成立
 loga ≥m恒成立,即m小于等于loga 的最小值.
令h(x)=
= .         8分
易证h(x)在x∈[0,1)上单调递增,
∴h(x)min=h(0)=1,
又∵a>1,∴loga ≥loga1=0,
即loga 的最小值为0,
∴m的取值范围是m≤0.               12分
22.解:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2), ,
∴(1-2a2)x2+4ax-3=0.
若1-2a2=0,即a=± 时,l与C的渐近线平行,l与C只有一个交点,与题意不合,
∴1-2a2≠0,Δ=(4a)2-4(1-2a2)(-3)>0,
∴- <a< .
   (*)
∴|PQ|= |x1-x2|=2 .
∴(x1-x2)2=4,∴(x1+x2)2-4x1x2=4.
∴(- )2-4 =4.
∴a=±1∈(- , ).
∴所求的实数a的值为a=±1.            5分
(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O,则由OP⊥OQ,得y1·y2=-x1·x2.
∴(ax1-1)·(ax2-1)=-x1·x2,
∴(1+a2)x1·x2-a(x1+x2)+1=0.            9分
把(*)式代入得:a2=-2与a为实数矛盾,
∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点.          14分