参考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C pk(1-p)n-k
正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧= cl,
其中c表示底面周长,l表示斜高或母线长
球的表面积公式S=4πR2,其中R表示球的半径
球的体积公式V= πR3,其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知A={x|x+1≥0},B={y|y2-2>0},全集I=R,则A∩ IB为
A.{x|x≥ 或x≤- }     B.{x|x≥-1或x≤ }
C.{x|-1≤x≤ }      D.{x|- ≤x≤-1}
2.不等式log  (x-1)>-1的解集为
A.{x|x>4}          B.{x|x<4} 
C.{x|1<x<4}         D.{x|1<x< }
3.下列函数中,图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是
A.y=-4x    B.y=4-x    C.y=-4-x   D.y=4x+4-x
4.在以下关于向量的命题中,不正确的是
A.若向量a=(x,y),向量b=(-y,x)(x、y≠0),则a⊥b
B.四边形ABCD是菱形的充要条件是 = ,且| |=| |
C.点G是△ABC的重心,则 + + =0
D.△ABC中, 和 的夹角等于180°-A
5.已知函数y=x3-3x,则它的单调增区间是
A.(-∞,0)        B.(0,+∞)
C.(-1,1)        D.(-∞,-1)及(1,+∞)
6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比q≠1,那么
A.a32+a72>a42+a62       B.a32+a72<a42+a62
C.a32+a72=a42+a62       D.大小不确定
7.曲线y=x3+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1,则切点P0的坐标为
A.(0,-2)或(1,0)      B.(1,0)或(-1,-4)
C.(-1,-4)或(0,-2)     D.(1,0)或(2,8)
8.函数y=f(x+1)与y=f(1-x)的图象关于
A.y轴对称        B.原点对称
C.直线x=1对称       D.关于y轴对称且关于直线x=1对称
9.已知 ( -ax+b)=2,则b的值为
A.0     B.4     C.-4    D.不确定
10.设f(x)、g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时,有
A.f(x)>g(x)        B.f(x)<g(x)
C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)      D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
11.如图,圆C:(x-1)2+(y-1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形(阴影部分)的面积为S,当直线l由下而上移动时,面积S关于t的函数图象大致为
 
12.函数f(x)= ,如果方程f(x)=a有且只有一个实根,那么a满足
A.a<0    B.0≤a<1    C.a=1    D.a>1
第Ⅱ卷  (非选择题  共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校,每所小学至少得到2台,不同送法的种数共有__________种.
14.已知f(x)=|log3x|,当0<a<2时,有f(a)>f(2),则a的取值范围是__________.
15.已知无穷等比数列首项为2,公比为负数,各项和为S,则S的取值范围为__________.
16.设有四个条件:
①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等;
②直线a∥b,a⊥平面α,b⊥平面β;
③a、b是异面直线,a α,b β,且a∥β,b∥α;
④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.
其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知tanA+tanB+ =tanA·tanB· ,
(1)求∠C的大小;
(2)若c= ,△ABC的面积S△ABC= ,求a+b的值.
18.(本小题满分12分)
已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
19.(本小题满分12分)
已知曲线C:x2-y2=1及直线L:y=kx-1.
(1)若L与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若L与C交于A、B两点,O是坐标原点,且△OAB的面积为 ,求实数k的值.
20.(本小题满分12分)
如图,已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC.
 
(1)求三棱锥P—ABC的体积V;
(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE,并求AE的长;
(3)求二面角A—PC—B的大小.
21.(本小题满分12分)
某水库水位已超过警戒水位(设超过的水量为P),由于上游仍在降暴雨,每小时将流入水库相同的水量Q,为了保护大坝的安全,要求水库迅速下降到警戒水位以下,需打开若干孔泄洪闸(每孔泄洪闸泄洪量都相同).要使水位下降到警戒水位,经测算,打开两孔泄洪闸,需40小时;打开4孔泄洪闸,需16小时.现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下,问:至少需打开几孔泄洪闸?
22.(本小题满分14分)
函数f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式;
(2)当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围.
参  考  答  案
仿真试题(一)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.解析:由已知得A={x|x≥-1},B={y|y> 或y<-  , IB={y|- ≤y≤ },则A∩ IB={x|-1≤x≤ },选C.
答案:C
2.解析:由已知得 得1<x<4,选C.
答案:C
3.解析:关于y轴对称的规律是以-x代x,y代y,得所求函数为y=4-x,选B.
答案:B
4.解析:若点G是△ABC的重心,则有 + + =0,而C的结论是 + + =0,显然是不成立的,选C.
答案:C
5.解析:由y=x3-3x,得y′=3x2-3.令y′=0,得x=±1.列表:
y (-∞,-1) (-1,1) (1,+∞)
y′ >0 <0 >0
所以函数y=x3-3x的单调增区间为(-∞,-1)及(1,+∞),选D.
答案:D
6.解析:取特殊数列验证:
根据题意取数列1,2,4,8,16,32,64(q>1),易证a32+a72>a42+a62;取数列64,32,16,8,4,2,1(0<q<1),易证a32+a72>a42+a62,故选A.
答案:A
7.解析:由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,由已知得3x2+1=4,解之得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.
∴切点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),选B.
答案:B
8.解析:根据对称关系验证D正确,选D.
答案:D
9.解析: -ax+b
=
= .
∵ ( -ax+b)=2,
得 得 选B.
答案:B
10.解析:令F(x)=f(x)-g(x),x∈[a,b],
则F′(x)=f′(x)-g′(x)>0.∴F(x)在[a,b]上是增函数.
又a<x<b,得F(a)<F(x)<F(b),
即f(a)-g(a)<f(x)-g(x)<f(b)-g(b).
得f(x)+g(a)>g(x)+f(a),选C.
答案:C
11.解析:当t=- 时,S=0;当t≥ 时,S=π;
当t=0时,S= .对照图象知B符合题意,故选B.
 
答案:B
12.解析:由图知a=1时,图象只有一个交点,故选C.
答案:C
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.解析:分为三种情况:①每所学校得3台电脑;②有两所学校各得2台电脑,一所学校得5台电脑;③有一所学校得2台电脑,一所学校得3台电脑,一所学校得4台电脑.
答案:10
14.解析:由f(a)>f(2),得|log3a|>log32.
log3a>log32或log3a<-log32=log  ,
得a>2或0<a< ,又0<a<2,
∴0<a< .
答案:0<a<
15.解析:由已知S= ,得q= .又-1<q<0得-1< <0.解之得1<S<2.
答案:1<S<2
16.解析:
①     不正确
②     正确
③     正确
④     不正确
故②③正确.
答案:②③
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分,22题14分,共74分)
17.解:(1)tanC=-tan(A+B)
=-
=-
= .
∵0°<C<180°,∴C=60°.            6分
(2)由c= 及余弦定理,
得a2+b2-2abcos60°
=( )2.
又由S△ABC= absin60°= ,
整理得
∴(a+b)2= ,即a+b= .              12分
18.解:∵a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,
∴(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)
=0.                  4分
即              
两式相减:a·b= |b|2,代入①得|a|2=|b|2.         8分
∴cosα= = .∴α=60°,即a与b的夹角为60°.        12分
19.解:(1)曲线C与直线L有两个不同交点,则方程组 有两个不同的解.
代入整理得:(1-k2)x2+2kx-2=0.           2分
此方程必有两个不等的实根x1,x2,

解得- <k< 且k≠±1时,曲线C与直线L有两个不同的交点.   6分
(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线L与y轴交于点D(0,-1),

∵S△OAB=S△OAD+S△OBD
= |x1|+ |x2|
= (|x1|+|x2|)   (∵x1·x2<0             8分
= |x1-x2|= ,
∴(x1-x2)2=(2 )2,即( )2+ =8.解得k=0或k=± .
∵- <k< ,
∴k=0或k=± 时,△OAB面积为 .           12分
20.解:(1)∵PA⊥平面ABC,PB=PC,由射影定理得,AB=AC=4.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC.
在Rt△PAC中,可求出PC=5,则PB=BC=5.
取BC中点D,连AD.在等腰△ABC中,求出底边上的高AD= .
∴V= · ·5· ·3= .           4分
(2)连PD,则PD⊥BC,又AD⊥BC,
∴BC⊥平面PAD.又BC 平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.
作AE⊥PD于E,则AE⊥平面PBC,AE为点A到平面PBC的垂线段.
在Rt △PAD中,由PA·AD=AE·PD,即3· =AE· ,求出AE= .8分
 
(3)作AF⊥PC于F,连EF,由三垂线逆定理,得EF⊥PC.
∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.
在Rt△PAC中,由PA·AC=PC·AF,即3·4=5·AF,求出AF= ,
∴sinAFE= = · = .             12分
即二面角A—PC—B为arcsin .
21.解:设应打开n孔泄洪闸,每孔泄洪闸每小时的泄洪量为R,则有
      7分
∴8n> .从而n> ≈7.3.
答:至少要打开8孔泄洪闸.              12分
22.解:(1)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上的点,Q(x,y)是y=g(x)图象上的点,则
∴ ∴-y=loga(x+2a-3a).
∴y=loga (x>a),即y=g(x)=loga (x>a).        5分
(2)∵   ∴x>3a.
∵f(x)与g(x)在[a+2,a+3]上有意义,∴3a<a+2.∴0<a<1.     8分
∵|f(x)-g(x)|≤1恒成立,∴|loga(x-3a)(x-a)|≤1恒成立.
∴  a≤(x-2a)2-a2≤ .
对x∈[a+2,a+3]时恒成立,令h(x)=(x-2a)2-a2,其对称轴x=2a,2a<2,2<a+2,
10分
∴当x∈[a+2,a+3]时,h(x)min=h(a+2),h(x)max=h(a+3).
∴ 0<a≤ .         14分